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Nueva plusmarca en números primos

04/01/2018 15:10 0 Comentarios Lectura: ( palabras)

Descubren el primo más grande hasta la fecha: el primo de Mersenne M77232917.

El proyecto Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) anunció ayer el descubrimiento, el pasado 26 de diciembre, del primo de Mersenne número 50. El método empleado es el de la computación distribuida en la que muchos voluntarios permiten el uso de CPU de sus máquinas. Esta organización ha descubierto ya numerosos primos de este tipo con el método de computación distribuida.

Los números de Mersenne son del tipo Mn = 2n ? 1 siendo los primeros 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, ... Los primos de Mersenne tienen un origen curioso y están relacionados con los llamados números perfectos. Euclides en el año 350 antes de nuestra era estudió este tipo de números. Toman el nombre de Marin Mersenne (1588-1648), monje y matemático originario de Francia, quien propuso una conjetura para los valores que tendría que tener el exponente "n" para que el resultado fuera primo.

La definición de estos números permite saber que un número de Mersenne es una cadena de n unos cuando se escribe en binario (base 2). Así, por ejemplo, M7 = 27 ? 1 = 127 = 11111112 es un número de Mersenne. Esta propiedad permite implementar cálculos con números de Mersenne en los computadores de manera más sencilla. No todos los primos son primos de Mersenne, pero, como éstos se pueden implementar fácilmente en un programa de ordenador, los mayores primos conocidos son de Mersenne.

Si n es menor o igual a 7 entonces Mn es primo, pero después no es así necesariamente. Los primos de Mersenne son números de Mersenne que además son primos, es decir, divisibles sólo por ellos mismos y por la unidad. El primo de Mersenne número cuatro de esta lista es precisamente el ejemplo anterior. Y el primo de Mersennen recientemente descubierto expresado en notación decimal consta de 23.249.425 dígitos, un millón de dígitos mayor que el anterior récord. Es, en concreto, el siguiente número:

277232917 ? 1

Para saber si un número de Mersenne es primo se utiliza el test de Lucas-Lehmer, pero lo difícil es dar con alguno a base de probar con muchas posibilidades. Por eso repartir la tarea de búsqueda entre una multitud de ordenadores es una buena estrategia. A principios de los noventa Richard Crandall, investigador de Apple, descubrió una manera de doblar la velocidad a la que se calculan las convoluciones (básicamente una gran operación de multiplicación), algoritmo en el que se basa este tipo de búsqueda de primos de Mersenne. Sin embargo este algoritmo se puede aplicar a la búsqueda de otros aspectos de la computación. Crandall patentó el sistema de cifrado elíptico que permite cifrar y descifrar mensajes de manera rápida, patente que ahora posee Apple (lamentablemente en algunos países se permite patentar este tipo de cosas).

Los mayores primos de Mersenne, incluyendo este último, han sido descubiertos gracias al proyecto internacional GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search) basado en computación distribuida, y que usa los PC de voluntarios a lo largo de todo el mundo al estilo del Seti at home. Con cientos de miles de CPUs calculando picos de cientos de billones de operaciones por segundo, el GIMPS es el proyecto colaborativo más grande funcionando de manera ininterrumpida.

A veces hay premios en metálico de distinta cuantía para este tipo de descubrimientos. En este caso, Jonathan Pace, un ingeniero eléctrico de 51 años de Germantown (Tennessee), se ha llevado los 3000 dólares de premio, ya que fue su computadora la que lo descubrió. Además obtendrá ese trocito de inmortalidad de figurar en el listado de aquellos que han descubierto primos grandes. Todo aquel que lo desee puede descargarse el programa y probar suerte.

Aunque hay infinitos primos e infinitos primos de este tipo, las posibilidades de encontrarlos se reducen conforme aumenta su tamaño por limitaciones computacionales.

Los expertos han encontrado sorprendente que este nuevo primo de Mersenne se haya encontrado tan rápidoo a tan corta distancia del anterior, pues el previo se descubrió en 2015. Ese era 5 millones de dígitos más largo que el anterior descubierto en 2013. La realidad es que no se sabe cómo se distribuyen los primos de Mersenne. El nuevo caso podría significar que este tipo de primos aparecen más frecuentemente de lo que se creía o que pueden aparecer apegotados en grupos.

Más sobre

La búsqueda de los primos de Mersenne ha sido siempre un ejercicio que pone a prueba la potencia de computación y por tanto la fortaleza de los sistemas de cifrado. Casi todo sistema de cifrado que se usa en la actualidad, incluido el https que utilizamos para conectarnos con el banco o para pagar con tarjeta de crédito en internet, está basado en el algoritmo RSA que utiliza primos grandes y cálculos similares a los que se emplean en GIMPS. Aunque estos números de Mersenne generalmente no se utilizan directamente para el cifrado, la seguridad del RSA depende de lo hábiles que seamos en el manejo de este tipo de primos grandes o de factorizar otros números compuestos igualmente grandes.

Cuando Newton o Leibniz descubrieron el cálculo infinitesimal no pensaban que nos desplazaríamos en aviones diseñados gracias a ese sistema matemático, al igual que Hilbert no pensó que sus espacios abstractos homónimos de infinitas dimensiones se aplicarían posteriormente en Mecánica Cuántica. Un descubrimiento académico del presente puede ser práctico en el futuro.

Pero no podemos ver este tipo de descubrimientos bajo un punto de vista puramente utilitarista o ingenieril. Aunque este descubrimiento es anecdótico, el simple hecho de descubrir un primo de Mersenne más es similar a descubrir una isla desconocida, una nueva especie animal o un planeta extrasolar. Tiene valor en sí mismo, el valor intrínseco de algo hermoso. La belleza de lo nuevo, y antes desconocido, que, simplemente, satisface nuestra curiosidad.

Es curioso que podamos demostrar que hay infinitos números primos cada vez más espaciados en el conjunto de los reales, pero que sólo podemos conocer unos pocos de ellos y sólo a través de un laborioso trabajo.

La hipótesis de Riemann, si al final es demostrada, podría ayudarnos a saber cómo se distribuyen. Demostrar este hipótesis es uno de los problemas que Hilbert propuesto en 1900 y ahora es uno de los problemas del milenio propuestos por el Intituto Clay.

No sabemos todavía si hay o no planetas como la Tierra y aún así los buscamos. Si hay quizás algunos tengan vida. Nunca los podremos visitar y casi ninguno (si es que los hay) albergará vida inteligente. Pero si hay otras civilizaciones conocerán los primos de Mersenne y gastarán su tiempo y energía en descubrirlos al igual que hacemos nosotros. Incluso otros entes pensantes que habiten otros hipotéticos universos también lo harán. Estos números habitan otro espacio, un espacio abstracto accesible sólo a través de mentes inquietas que tienen curiosidad. Una curiosidad que los haría humanos e inteligentes y les permitiría, eventualmente, comunicarse con otros seres igualmente inteligentes y curiosos empleando un lenguaje trasuniversal basado en las Matemáticas.

La ameba, el gusano o las cucarachas (y algún humano terrestre) sólo se mueven por utilitarismo y carecen de curiosidad. La pregunta "¿y eso para qué sirve?" siempre califica al que la emite como un ignorante que no sabe ni quiere cambiar su condición.

Copyleft: atribuir con enlace a http://neofronteras.com/?p=5920

Fuentes y referencias:

Nota de prensa.

Hallan el primo de Mersenne número 44.

Hallan los primos de Mersenne números 45 y 46.

Otro primo de Mersenne.

Foto: Max Pixel.


Sobre esta noticia

Autor:
Neofronteras (1427 noticias)
Fuente:
neofronteras.com
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2246
Tipo:
Reportaje
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Creative Commons License
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